第三部分:
1.指数分布族
2.高斯分布--->>>最小二乘法
3.泊松分布--->>>线性回归
4.Softmax回归
指数分布族:
结合Ng的课程,在看这篇博文:
泊松分布:
这里是一个扩展,看不看都可以:
Softmax回归:
有点难度的,看了3个多小时才看懂。自己就不重复造轮子了,以下是在原文的基础上做的笔记,直接看真的很懵逼!
简介:
在本节中,我们介绍Softmax回归模型,该模型是logistic回归模型在多分类问题上的推广,在多分类问题中,类标签
回想一下在 logistic 回归中,我们的训练集由
注释:这是已经利用泊松分布概率推到的函数。
我们将训练模型参数
注释:代价函数在这里的理解就是所有样本概率求和函数。
在 softmax回归中,我们解决的是多分类问题(相对于 logistic 回归解决的二分类问题),类标
对于给定的测试输入
注释:此图是对下面表达式的说明。
其中
为了方便起见,我们同样使用符号
注释:每个thea都是n行向量,前面求解回归方程已经说明。
代价函数:
现在我们来介绍 softmax 回归算法的代价函数。在下面的公式中,
注释:这里是个判断函数,在数学表达式中很少,但是程序直接写 print_value = a==b ? 1 : 0;
1{
值为真的表达式 }=1,举例来说,表达式
值得注意的是,上述公式是logistic回归代价函数的推广。logistic回归代价函数可以改为:
可以看到,Softmax代价函数与logistic 代价函数在形式上非常类似,只是在Softmax损失函数中对类标记的
对于
让我们来回顾一下符号 "
有了上面的偏导数公式以后,我们就可以将它代入到梯度下降法等算法中,来最小化
当实现 softmax 回归算法时, 我们通常会使用上述代价函数的一个改进版本。具体来说,就是和权重衰减(weight decay)一起使用。我们接下来介绍使用它的动机和细节。
Softmax回归模型参数化的特点:
Softmax 回归有一个不寻常的特点:它有一个“冗余”的参数集。为了便于阐述这一特点,假设我们从参数向量
注释:这个“冗余”的意思是参数太多,N方程解N个未知数,现在出现N个方程N+1个未知数,那么出现的结果就是未知数的解不唯一。
换句话说,从
进一步而言,如果参数
注释:上面已经说明解不唯一,那么就等于这个函数的最大似然函数不收敛-->>不存在局部最优解-->>Hessian矩阵是不存在的-->>那么最大似然函数就是无解的。。。
注意,当
在实际应用中,为了使算法实现更简单清楚,往往保留所有参数
权重衰减:
我们通过添加一个权重衰减项
有了这个权重衰减项以后 (
为了使用优化算法,我们需要求得这个新函数
通过最小化
Softmax回归与Logistic 回归的关系:
当类别数
利用softmax回归参数冗余的特点,我们令
因此,用
Softmax 回归 vs. k 个二元分类器:
注释:这里好理解了,唯一性用SoftMax,不唯一用K个二分类器。
如果你在开发一个音乐分类的应用,需要对k种类型的音乐进行识别,那么是选择使用 softmax 分类器呢,还是使用 logistic 回归算法建立 k 个独立的二元分类器呢?
这一选择取决于你的类别之间是否互斥,例如,如果你有四个类别的音乐,分别为:古典音乐、乡村音乐、摇滚乐和爵士乐,那么你可以假设每个训练样本只会被打上一个标签(即:一首歌只能属于这四种音乐类型的其中一种),此时你应该使用类别数 k = 4 的softmax回归。(如果在你的数据集中,有的歌曲不属于以上四类的其中任何一类,那么你可以添加一个“其他类”,并将类别数 k 设为5。)
如果你的四个类别如下:人声音乐、舞曲、影视原声、流行歌曲,那么这些类别之间并不是互斥的。例如:一首歌曲可以来源于影视原声,同时也包含人声 。这种情况下,使用4个二分类的 logistic 回归分类器更为合适。这样,对于每个新的音乐作品 ,我们的算法可以分别判断它是否属于各个类别。
现在我们来看一个计算视觉领域的例子,你的任务是将图像分到三个不同类别中。(i) 假设这三个类别分别是:室内场景、户外城区场景、户外荒野场景。你会使用sofmax回归还是 3个logistic 回归分类器呢? (ii) 现在假设这三个类别分别是室内场景、黑白图片、包含人物的图片,你又会选择 softmax 回归还是多个 logistic 回归分类器呢?
在第一个例子中,三个类别是互斥的,因此更适于选择softmax回归分类器 。而在第二个例子中,建立三个独立的 logistic回归分类器更加合适。
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